503. На отрезке AC
взята точка B
, и на отрезках AB
, BC
и CA
построены полуокружности S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
по одну сторону от AC
; D
— точка на S_{3}
, проекция которой на AC
совпадает с точкой B
. Общая касательная к S_{1}
и S_{2}
касается этих полуокружностей в точках F
и E
соответственно. Докажите, что
а) прямая EF
параллельна касательной к S_{3}
, проведённой через точку D
;
б) BFDE
— прямоугольник.
Указание. Если O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
— центры полуокружностей, а K
— проекция O_{1}
на O_{2}E
, то треугольники O_{1}KO_{2}
и DBO_{3}
равны.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
и O_{3}
— центры полуокружностей соответственно S_{1}
, S_{2}
и S_{3}
; r
и R
— радиусы полуокружностей соответственно S_{1}
и S_{2}
(r\lt R
). Тогда радиус полуокружности S_{3}
равен r+R
.
Пусть K
— основание перпендикуляра, опущенного из точки O_{1}
на O_{2}E
. Тогда
O_{2}K=R-r,~O_{1}O_{2}=r+R.
В треугольнике DBO_{3}
BO_{3}=R-r,~O_{3}D=R+r.
Поскольку прямоугольные треугольники O_{1}KO_{2}
и DBO_{3}
равны, то равны углы EO_{2}O_{1}
и DO_{3}B
, откуда следует первое утверждение.
В четырёхугольнике BFDE
диагонали равны (так как DB=FE=2\sqrt{rR}
, см. задачу 365) и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, BFDE
— прямоугольник.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1980-81, VII, III этап, 11 класс
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 1.65, с. 18