507. В равнобедренном треугольнике ABC
известно, что \angle A=\alpha\gt90^{\circ}
и BC=a
. Найдите расстояние между точкой пересечения высот и центром описанной окружности.
Ответ. \frac{1}{2}a\left(\tg\frac{\alpha}{2}-\ctg\alpha\right)
.
Указание. Высота, проведённая к боковой стороне треугольника, образует с основанием угол, равный \frac{\alpha}{2}
.
Решение. Пусть H
— точка пересечения высот, O
— центр описанной окружности, K
— середина BC
. Точки H
и O
лежат по разные стороны от прямой BC
.
OH=HK+OK=BK\tg\angle HBC+KC\ctg\angle AOC=
=\frac{a}{2}\tg\frac{\alpha}{2}+\frac{a}{2}\ctg(180^{\circ}-\alpha)=\frac{a}{2}\left(\tg\frac{\alpha}{2}-\ctg\alpha\right).
