509. В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды. Каждая хорда разделена точками пересечения на три равные части. Найдите радиус окружности, если одна из хорд равна a
.
Ответ. \frac{a\sqrt{7}}{3\sqrt{3}}
.
Указание. Докажите, что все три хорды равны между собой.
Решение. Из теоремы о произведениях отрезков пересекающихся хорд следует, что все три хорды равны между собой. Поэтому точки пересечения хорд — вершины правильного треугольника со стороной \frac{a}{3}
. Поскольку равные хорды равноудалены от центра окружности, то центр O
этого треугольника совпадает с центром данной окружности. Расстояние от точки O
до каждой хорды равно \frac{a\sqrt{3}}{18}
. Пусть R
— искомый радиус. По теореме Пифагора находим, что
R^{2}=\left(\frac{a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{a\sqrt{3}}{18}\right)^{2}=\frac{7a^{2}}{27}.
Следовательно,
R=\frac{a\sqrt{7}}{3\sqrt{3}}.
Источник: Шарыгин И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — 2-е изд. — М.: Наука, 1986. — № 76, с. 13
Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 76, с. 11
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 302, с. 41