514. Признак параллельности прямых. Две прямые пересечены третьей. Докажите, что если внутренние накрест лежащие углы равны или сумма внутренних односторонних углов равна 180^{\circ}
, то прямые параллельны.
Решение. Пусть прямая c
пересекает прямые a
и b
в точках A
и B
соответственно. Прямая c
разбивает плоскость на две полуплоскости. На прямых a
и b
в разных полуплоскостях отметим точки C
и D
соответственно. Тогда CAB
и DBA
— внутренние накрест лежащие углы. По условию \angle CAB=\angle DBA
.
Предположим, что прямые a
и b
не параллельны. Пусть они пересекаются в некоторой точке M
. Построим треугольник BAM_{1}
, равный треугольнику ABM
, с вершиной M_{1}
в полуплоскости, не содержащей точку M
(это можно сделать по аксиоме существования треугольника, равного данному: каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данного луча).
Соответствующие углы треугольников ABM
и BAM_{1}
при вершинах A
и B
— это накрест лежащие углы при прямых a
, b
и секущей c
, поэтому прямая AM
совпадает с прямой a
, а прямая BM_{1}
— с прямой b
(по аксиоме откладывания углов: от любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей 180^{\circ}
, и только один).
Получается, что через точки M
и M_{1}
проходят две различные прямые a
и b
, что противоречит аксиоме: через любые две различные точки можно провести прямую, и только одну. Следовательно, прямые a
и b
параллельны.
Поскольку сумма смежных углов равна 180^{\circ}
, равенство внутренних накрест лежащих углов равносильно тому, что сумма внутренних односторонних углов равна 180^{\circ}
.
Примечание. В частности, две прямые, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны.