516. Окружность, построенная на основании AD
трапеции ABCD
как на диаметре, проходит через середины боковых сторон AB
и CD
трапеции и касается основания BC
. Найдите углы трапеции.
Ответ. 75^{\circ}
, 75^{\circ}
, 105^{\circ}
, 105^{\circ}
.
Указание. Радиус окружности, проведённый в середину боковой стороны, образует угол в 30^{\circ}
с основанием трапеции.
Решение. Пусть M
и N
— середины боковых сторон соответственно AB
и CD
трапеции ABCD
. Тогда MN\parallel AD
.
Пусть O
— центр окружности, K
— точка касания с основанием BC
, P
— точка пересечения радиуса OK
со средней линией MN
. Тогда
OP=\frac{1}{2}OK=\frac{1}{2}ON.
Из прямоугольного треугольника PNO
находим, что \angle PNO=30^{\circ}
. Тогда
\angle NOD=\angle PNO=30^{\circ},~\angle CDA=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}.
Аналогично находим, что \angle BAD=75^{\circ}
.
