524. Окружности S_{1}
и S_{2}
пересекаются в точках A
и B
. Секущая, проходящая через точку A
, пересекает эти окружности вторично в точках M
и N
. Касательные к окружностям S_{1}
и S_{2}
в точке A
пересекаются прямыми BN
и BM
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что прямые PQ
и MN
параллельны.
Указание. Докажите, что APBQ
— вписанный четырёхугольник.
Решение. Обозначим \angle MNB=\alpha
, \angle NMB=\beta
. Пусть точка Q
принадлежит отрезку MB
, а P
— отрезку NB
. Тогда
\angle QAB=\angle MNB=\alpha,~\angle PAB=\angle NMB=\beta.
Поэтому
\angle QAP=\alpha+\beta,~\angle MBN=180^{\circ}-\alpha-\beta.
Значит, APBQ
— вписанный четырёхугольник. Тогда
\angle QPB=\angle QAB=\alpha.
Следовательно, PQ\parallel MN
.
Источник: Куценок В. Е. Метод вспомогательной окружности: Рукопись. — Киев. — № 65, с. 18