529. В окружность радиуса 10 вписан четырёхугольник, диагонали которого перпендикулярны и равны 12 и 10\sqrt{3}
. Найдите стороны четырёхугольника.
Ответ. \sqrt{240}\pm\sqrt{20}
, \sqrt{80}\pm\sqrt{60}
.
Указание. Диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
Решение. Пусть O
— центр окружности, описанной около четырёхугольника ABCD
, M
— точка пересечения диагоналей AC
и BD
, K
— середина AC
, P
— середина BD
. Тогда BP=5\sqrt{3}
, CK=6
. Предположим, что точка P
находится между M
и B
, а M
— между K
и A
. Тогда
KM=OP=\sqrt{OB^{2}-BP^{2}}=\sqrt{100-75}=5,
MP=OK=\sqrt{OC^{2}-KC^{2}}=\sqrt{100-36}=8,
BM=MP+PB=8+5\sqrt{3},
AM=AK-KM=6-5=1,
AB=\sqrt{MB^{2}+MA^{2}}=\sqrt{(8+5\sqrt{3})^{2}+1}=
=\sqrt{140+80\sqrt{3}}=\sqrt{80}+\sqrt{60}.
Остальные стороны находятся аналогично.
Источник: Вступительный экзамен на факультет психологии МГУ. — 1977, № 4, вариант 2, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 111