531. Внутри треугольника ABC
взята точка M
, причём
\angle AMC=60^{\circ}+\angle ABC,~\angle CMB=60^{\circ}+\angle CAB,~\angle BMA=60^{\circ}+\angle BCA.
Докажите, что проекции точки M
на стороны треугольника служат вершинами правильного треугольника.
Указание. Точка M
, её проекции на две стороны треугольника и вершина треугольника, общая для этих сторон, лежат на одной окружности.
Решение. Пусть A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— проекции данной точки M
на стороны BC
, AC
и AB
соответственно. Проведём три окружности: через точки M
, A_{1}
, B
, C_{1}
, через точки M
, B_{1}
, C
, A_{1}
и через точки M
, C_{1}
, A
, B_{1}
. Тогда
\angle B_{1}C_{1}A_{1}+\angle B_{1}A_{1}C_{1}=
=(\angle B_{1}C_{1}M+\angle A_{1}C_{1}M)+(\angle C_{1}A_{1}M+\angle B_{1}A_{1}M)=
=(\angle B_{1}AM+\angle A_{1}BM)+(\angle C_{1}BM+\angle B_{1}CM)=
=(\angle B_{1}AM+\angle B_{1}CM)+(\angle A_{1}BM+\angle C_{1}BM)=
=180^{\circ}-\angle AMC+\angle ABC=
=180^{\circ}-(\angle ABC+60^{\circ})+\angle ABC=120^{\circ}.
Следовательно,
\angle C_{1}B_{1}A_{1}=180^{\circ}-(\angle B_{1}C_{1}A_{1}+\angle B_{1}A_{1}C_{1})=
=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.
Аналогично для остальных углов треугольника A_{1}B_{1}C_{1}
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 1975-76, II, IV этап, 10 класс
Источник: Куценок В. Е. Метод вспомогательной окружности: Рукопись. — Киев. — № 19, с. 9
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2.19, с. 33