540. Две окружности касаются внешним образом. Прямая, проведённая через точку касания, образует в окружностях хорды, из которых одна равна \frac{13}{5}
другой. Найдите радиусы окружностей, если расстояние между центрами равно 36.
Ответ. 10 и 26.
Указание. Соедините центры окружностей с соответствующими концами хорд и рассмотрите подобные треугольники.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей, K
— точка касания окружностей, AK
и KB
— хорды, AK=\frac{5}{13}BK
.
AO_{1}K
и BO_{2}K
— равнобедренные треугольники с равными углами при основаниях (\angle O_{1}KA=\angle O_{2}KB
). Поэтому они подобны с коэффициентом подобия \frac{AK}{KB}=\frac{5}{13}
. Следовательно,
KO_{1}=\frac{5}{18}O_{1}O_{2}=\frac{5}{18}\cdot36=10,~KO_{2}=36-10=26.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 46, с. 51