541. В равнобедренный треугольник, у которого боковая сторона равна 100, а основание 60, вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания, находящимися на боковых сторонах.
Ответ. 42.
Указание. Отрезок, соединяющий точки касания окружности с боковыми сторонами равнобедренного треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.
Решение. Пусть M
и N
— точки касания окружности с боковыми сторонами AB
и AC
равнобедренного треугольника ABC
, K
— точка касания с основанием. Тогда
AM=AB-MB=AB-BK=100-30=70.
Поскольку AM=AN
, то треугольники AMN
и ABC
подобны. Поэтому \frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}
. Следовательно,
MN=\frac{BC\cdot AM}{AB}=\frac{60\cdot70}{100}=42.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 53, с. 51