553. К окружности радиуса 7 проведены две касательные из одной точки, удалённой от центра на расстояние, равное 25. Найдите расстояние между точками касания.
Ответ. 13,44.
Указание. Произведение основания на высоту для данного треугольника постоянно.
Решение. Пусть прямые, проходящие через точку M
, касаются данной окружности в точках A
и B
, O
— центр окружности, K
— середина AB
. Тогда
MA=MB=\sqrt{OM^{2}-OA^{2}}=\sqrt{25^{2}-7^{2}}=24.
Поскольку OM\cdot AK=AM\cdot AO
(удвоенная площадь треугольника OAM
), то
AK=\frac{AM\cdot AO}{OM}=\frac{24\cdot7}{25}=\frac{168}{25}.
Следовательно,
AB=2AK=\frac{336}{25}=13{,}44.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 38(3), с. 58
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 5.11, с. 39