563. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17:15
. Основание равно 60. Найдите радиус этой окружности.
Ответ. \frac{15}{2}
.
Указание. Примените свойство биссектрисы треугольника (или формулу для тангенса двойного аргумента).
Решение. Первый способ. Пусть M
— основание высоты CM
равнобедренного треугольника ACB
(AC=CB
), O
— центр вписанной окружности. AM=\frac{1}{2}AB=30
.
Поскольку AO
— биссектриса треугольника MAC
, то \frac{AC}{AM}=\frac{CO}{OM}
. Откуда находим, что AC=34
. Следовательно,
CM^{2}=AC^{2}-AM^{2}=34^{2}-30^{2}=16^{2},
OM=\frac{15}{32}CM=\frac{15}{32}\cdot16=\frac{15}{2}.
Второй способ. Пусть M
— основание высоты CM
равнобедренного треугольника ACB
(AC=CB
), O
— центр вписанной окружности. AM=\frac{1}{2}AB=30
. Положим \angle ABC=\angle BAC=2\alpha
, CO=17x
, r=OM=15x
.
Поскольку AO
— биссектриса треугольника MAC
, то \angle MAO=\alpha
. Из прямоугольных треугольников MAO
и MAC
получаем, что
\tg\alpha=\frac{OM}{AM}=\frac{15x}{30}=\frac{x}{2},~\tg2\alpha=\frac{CM}{AM}=\frac{17x+15x}{30}=\frac{16x}{15},
а так как \tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{1-\tg^{2}\alpha}
, то
\frac{16x}{15}=\frac{2\cdot\frac{x}{2}}{1-\frac{x^{2}}{4}},~\mbox{или}~4x^{2}+15x-16=0.
Откуда x=\frac{1}{2}
, поскольку x\gt0
. Следовательно, r=15x=\frac{15}{2}
.