570. Точка K
лежит на стороне BC
треугольника ABC
. Докажите, что соотношение AK^{2}=AB\cdot AC-KB\cdot KC
выполнено тогда и только тогда, когда AB=AC
или \angle BAK=\angle CAK
.
Указание. Опишите окружность вокруг треугольника ABC
.
Решение. Возьмём на отрезке BC
такую точку L
, что \angle CAL=\angle KAB
(рис. 1). Покажем, что AL=AK
. Отсюда будет вытекать, что либо точки K
и L
совпадают, т. е. AK
— биссектриса угла A
, либо треугольник ALK
равнобедренный, и тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ABC=\angle AKC-\angle BAK=\angle ALB-\angle LAC=\angle ACB,
т. е. треугольник ABC
— равнобедренный.
Обозначим через D
точку пересечения прямой AK
с описанной окружностью треугольника ABC
. Поскольку \angle ACB=\angle ADB
, то треугольник ACL
подобен треугольнику ADB
, следовательно, AL\cdot AD=AB\cdot AC
. Треугольники ACK
и BDK
также подобны (\angle ACB=\angle ADB
, \angle AKC=\angle BKD
), поэтому BK\cdot KC=AK\cdot KD
. Таким образом, равенство, данное в условии, эквивалентно следующему:
AK^{2}=AL\cdot AD-AK\cdot KD,~\mbox{или}~AK\cdot(AK+KD)=AL\cdot AD.
Отсюда следует, что AK=AL
.