571. AB
и AC
— касательные к окружности с центром O
, M
— точка пересечения прямой AO
с окружностью; DME
— отрезок касательной, проведённой через точку M
, между AB
и AC
. Найдите DE
, если радиус окружности равен 15, а расстояние AO
равно 39.
Ответ. 20.
Указание. Рассмотрите подобные треугольники.
Решение. Заметим, что
AM=AO-OM=39-15=24,
AB^{2}=AO^{2}-OB^{2}=39^{2}-15^{2}=24\cdot54=36^{2}.
Из подобия треугольников AMD
и ABO
следует, что \frac{DM}{OB}=\frac{AM}{AB}
. Поэтому
DM=\frac{OB\cdot AM}{AB}=\frac{15\cdot24}{36}=10.
Следовательно, DE=2DM=20
.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 73, с. 61