574. В прямоугольном треугольнике катеты равны 75 и 100. На отрезках гипотенузы, образуемых основанием высоты, построены полуокружности по одну сторону с данным треугольником. Найдите отрезки катетов, заключённые внутри полукругов.
Ответ. 27 и 64.
Указание. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и своей проекцией на гипотенузу. Примените эту теорему к каждому из двух прямоугольных треугольников, на которые указанная высота разбивает данный треугольник.
Решение. Пусть M
— основание высоты CM
треугольника ABC
, BC=75
, AC=100
, BD
и AE
— искомые отрезки. Тогда
AB=\sqrt{100^{2}+75^{2}}=125,~CM=\frac{BC\cdot AC}{AB}=\frac{75\cdot100}{125}=60.
Отрезок MD
— высота прямоугольного треугольника BMC
, опущенная из вершины прямого угла M
на гипотенузу BC
, поэтому
MC^{2}=CD\cdot CB,~\mbox{или}~60^{2}=(75-BD)75.
Откуда находим, что BD=27
. Аналогично найдём AE
.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 76, с. 61