576. Точка удалена от прямой MN
на расстояние a
. Данным радиусом r
описана окружность так, что она проходит через точку A
и касается прямой MN
. Найдите расстояние между полученной точкой касания и данной точкой A
.
Ответ. \sqrt{2ar}
.
Указание. Проведите диаметр данной окружности через полученную точку касания и соедините его концы с данной точкой A
.
Решение. Пусть B
— полученная точка касания, C
— проекция точки A
на прямую MN
, BD
— диаметр данной окружности, K
— проекция точки A
на этот диаметр. Тогда AK
— высота треугольника BAD
, проведённая из вершины прямого угла DAB
. Поэтому
AB^{2}=BK\cdot BD=AC\cdot BD=a\cdot2r=2ar.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 46, с. 72