577. В равнобедренном треугольнике основание равно 48, а боковая сторона равна 30. Найдите радиусы описанной и вписанной окружностей и расстояние между их центрами.
Ответ. 8; 25; 15.
Указание. Искомое расстояние равно разности расстояний от центров окружностей до вершины треугольника.
Решение. Квадрат высоты данного треугольника, опущенной на основание, равен 30^{2}-24^{2}=18^{2}
.
Радиус r
вписанной окружности равен \frac{24}{30+24}
высоты треугольника (по свойству биссектрисы треугольника), т. е. r=8
.
Синус угла при основании равен \frac{18}{30}=\frac{3}{5}
. Радиус R
описанной окружности равен боковой стороне треугольника, делённой на удвоенный синус угла при основании, т. е. R=25
. Поэтому центр этой окружности расположен вне треугольника. Следовательно, расстояние между центрами окружностей равно 25-(18-8)=15
.
