596. Площадь ромба ABCD
равна 2. В треугольник ABD
, образованный сторонами AB
, AD
и диагональю BD
данного ромба, вписана окружность, которая касается стороны AB
в точке K
. Через точку K
проведена прямая KL
, параллельная диагонали AC
ромба (точка L
лежит на стороне BC
). Найдите угол BAD
, если известно, что площадь треугольника KLB
равна a
.
Ответ. 2\arcsin\sqrt{a}
.
Указание. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Решение. Треугольник KBL
подобен треугольнику ABC
. Коэффициент подобия равен
\frac{\sqrt{S_{\triangle KBL}}}{\sqrt{S_{\triangle ABC}}}=\sqrt{a}.
Поэтому, если Q
— точка пересечения диагоналей ромба, то
\sin\angle BAC=\sin\angle BAQ=\frac{BQ}{AB}=\frac{BK}{AB}=\sqrt{a}.
Следовательно,
\angle BAC=\arcsin\sqrt{a},~\angle BAD=2\arcsin\sqrt{a}.
Источник: Вступительный экзамен на химический факультет МГУ. — 1980, вариант 2, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 44