597. В параллелограмме ABCD
диагональ AC
перпендикулярна стороне AB
. Некоторая окружность касается стороны BC
параллелограмма ABCD
в точке P
и касается прямой, проходящей через вершины A
и B
этого же параллелограмма, в точке A
. Через точку P
проведён перпендикуляр PQ
к стороне AB
(точка Q
— основание этого перпендикуляра). Найдите угол ABC
, если известно, что площадь параллелограмма ABCD
равна \frac{1}{2}
, а площадь пятиугольника QPCDA
равна S
.
Ответ. \arccos\sqrt{2-4S}
.
Указание. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Решение. Поскольку AB\perp AC
и PQ\perp AB
, то PQ\parallel AC
и треугольники QBP
и ABC
подобны. Следовательно,
\cos\angle ABC=\frac{AB}{BC}=\frac{BP}{BC}=\frac{\sqrt{S_{\triangle QPB}}}{\sqrt{S_{\triangle ABC}}}=\frac{\sqrt{S_{ABCD}-S_{QPCDA}}}{\sqrt{S_{\triangle ABC}}}=\sqrt{2-4S}.