608. На боковой стороне BC
равнобедренного треугольника ABC
как на диаметре построена окружность, пересекающая основание этого треугольника в точке D
. Найдите расстояние от вершины A
до центра окружности, если AD=\sqrt{3}
и \angle ABC=120^{\circ}
.
Ответ. \sqrt{7}
.
Решение. Поскольку точка D
лежит на окружности с диаметром BC
, то \angle BDC=90^{\circ}
, значит, BD
— высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника ABC
. Поэтому
AC=2AD=2\sqrt{3},~BC=\frac{CD}{\sin DBC}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2,~OC=\frac{1}{2}BC=1.
Следовательно,
AO=\sqrt{AC^{2}+OC^{2}-2AC\cdot OC\cos30^{\circ}}=\sqrt{12+1-2\cdot2\sqrt{3}\cdot1\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{7}.