609. На катете AC
прямоугольного треугольника ABC
как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу AB
в точке K
. Найдите площадь треугольника CKB
, если катет AC
равен b
, а угол ABC
равен \beta
.
Ответ. \frac{1}{2}b^{2}\cos^{2}\beta\ctg\beta
.
Указание. Докажите, что CK
перпендикулярно AB
.
Решение. Точка K
лежит на окружности с диаметром AC
. Поэтому CK
перпендикулярно AB
. Из прямоугольных треугольников AKC
и BKC
находим, что
CK=AC\cos\angle ACK=b\cos\beta,~BK=CK\ctg\angle B=b\cos\beta\ctg\beta.
Следовательно,
S_{\triangle CKB}=\frac{1}{2}CK\cdot BK=\frac{1}{2}b\cos\beta\cdot b\cos\beta\cdot\ctg\beta=
=\frac{1}{2}b^{2}\cdot\cos^{2}\beta\ctg\beta.
Источник: Вступительный экзамен на географический факультет МГУ. — 1983, вариант 1, № 3
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 74