617. В треугольнике ABC
сторона AC
равна 3, угол BAC
равен 30^{\circ}
и радиус описанной окружности равен 2. Докажите, что площадь треугольника ABC
меньше 3.
Указание. Докажите, что хорда AB
строго меньше диаметра данной окружности.
Решение. Поскольку AB
— хорда окружности с диаметром 4, то AB\leqslant4
. Докажем, что AB\lt4
.
Пусть AB=4
. Тогда AB
— диаметр, \angle C=90^{\circ}
, треугольник ABC
— прямоугольный. Поскольку
BC=2R\sin\angle A
(R
— радиус описанной окружности), то BC=2
. Но тогда
BC^{2}+AC^{2}\ne AB^{2}~(4+9\ne16).
Поэтому AB\lt4
. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\angle A\lt\frac{1}{2}\cdot4\cdot3\cdot\frac{1}{2}=3.