618. В треугольнике ABC
сторона AB
равна 4, угол CAB
равен 60^{\circ}
, а радиус описанной окружности равен 2,2. Докажите, что высота, опущенная из вершины C
на AB
, меньше \frac{11\sqrt{3}}{5}
.
Указание. Докажите, что высота CD
строго меньше стороны CB
треугольника ABC
.
Решение. Пусть CD
— высота треугольника ABC
, R
— радиус описанной окружности. Заметим, что
CD\leqslant BC=2R\sin\angle A=2\cdot2{,}2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{11\sqrt{3}}{5}.
Докажем, что CD\lt BC
. Предположим, что CD=BC=\frac{11\sqrt{3}}{5}
. Тогда треугольник ABC
— прямоугольный,
AB=4,~AC=2R=\frac{22}{5},~BC=\frac{11\sqrt{3}}{5},
что невозможно, так как AC^{2}\ne BC^{2}+AB^{2}
.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 1978 (отделение общей геологии), вариант 2, № 4
Источник: Нестеренко Ю. В., Олехник С. Н., Потапов М. К. Задачи вступительных экзаменов по математике. — М.: Наука, 1986. — с. 87