621. Найдите периметр правильного треугольника, вписанного в окружность, если известно, что хорда этой окружности, равная 2, удалена от её центра на расстояние, равное 3.
Ответ. 3\sqrt{30}
.
Указание. Найдите радиус окружности и воспользуйтесь формулой a=2R\sin\alpha
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, R
— радиус, PQ
— произвольная хорда, равная 2, F
— середина этой хорды. Тогда в прямоугольном треугольнике OFP
известно, что
R^{2}=OP^{2}=OF^{2}+FP^{2}=9+1=10,~R=\sqrt{10}.
Если a
— сторона правильного треугольника, вписанного в данную окружность, то
a=2R\sin60^{\circ}=2\sqrt{10}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{30}.
Следовательно, периметр этого треугольника равен 3\sqrt{30}
.