642. В квадрат ABCD
со стороной a
вписана окружность, которая касается стороны CD
в точке E
. Найдите хорду, соединяющую точки, в которых окружность пересекается с прямой AE
.
Ответ. \frac{2a}{\sqrt{5}}
.
Указание. Примените теорему о касательной и секущей.
Решение. Пусть PE
— искомая хорда, M
— точка касания окружности со стороной AD
. Тогда
AE=\sqrt{AD^{2}+DE^{2}}=\sqrt{a^{2}+\frac{a^{2}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2},~AM=\frac{a}{2}.
По теореме о касательной и секущей
AM^{2}=AE\cdot AP,~\mbox{или}~\frac{a^{2}}{4}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\left(\frac{a\sqrt{5}}{2}-PE\right).
Из этого уравнения находим, что
PE=\frac{2a}{\sqrt{5}}.
