644. В прямоугольном треугольнике ABC
угол A
прямой, катет AB
равен a
, радиус вписанной окружности равен r
. Вписанная окружность касается катета AC
в точке D
. Найдите хорду, соединяющую точки пересечения окружности с прямой BD
.
Ответ. \frac{2ar}{\sqrt{r^{2}+a^{2}}}
.
Решение. Пусть O
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, E
— отличная от D
точка пересечения прямой BD
с этой окружностью, F
— точка касания окружности с катетом AB
. Обозначим DE=x
.
Четырёхугольник AFOD
— квадрат со стороной r
, поэтому AF=OD=r
и AD=OF=r
. По теореме Пифагора
BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}=\sqrt{a^{2}+r^{2}}.
По теореме о касательной и секущей BD\cdot BE=BF^{2}
, или \sqrt{a^{2}+r^{2}}(\sqrt{a^{2}+r^{2}}-x)=(a-r)^{2}
. Из этого уравнения находим, что x=\frac{2ar}{\sqrt{r^{2}+a^{2}}}
.
