650. О треугольнике ABC
известно, что \angle ABC=\alpha
, \angle BCA=\beta
, AC=b
. На стороне BC
взята точка D
, причём BD=3DC
. Через точки B
и D
проведена окружность, касающаяся стороны AC
или её продолжения за точку A
. Найдите радиус этой окружности.
Ответ. \frac{b\sin\alpha(5-4\cos\beta)}{8\sin\beta\sin(\alpha+\beta)}
.
Указание. С помощью теоремы о касательной и секущей докажите, что PC=\frac{1}{2}BC
. Далее примените теоремы косинусов и синусов.
Решение. Пусть P
— точка касания окружности с прямой AC
. Обозначим CD=x
. Тогда
PC^{2}=CB\cdot CD=4x\cdot x=4x^{2}.
Поэтому PC=2x
. По теореме косинусов из треугольника PCD
находим, что
PD=\sqrt{CP^{2}+CP^{2}-2CD\cdot PC\cos\angle C}=
=\sqrt{x^{2}+4x^{2}-4x^{2}\cos\beta}=x\sqrt{5-4\cos\beta}.
По теореме синусов
\sin\angle CPD=\frac{CD\cdot\sin\alpha}{PD}=\frac{\sin\beta}{\sqrt{5-4\cos\beta}}.
Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника BPD
. Поскольку \angle CPD=\frac{\cup PD}{2}=\angle PBD
, то
R=\frac{PD}{2\sin\angle PBD}=\frac{x(5-4\cos\beta)}{2\sin\beta}.
По теореме синусов из треугольника ABC
находим, что
BC=4x=\frac{AC\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}.
Следовательно,
R=\frac{b\sin\alpha(5-4\cos\beta)}{8\sin\beta\sin(\alpha+\beta)}.