661. Окружность касается стороны BC
треугольника ABC
в её середине, проходит через точку A
, а отрезки AB
и AC
пересекает в точках D
и E
соответственно. Найдите угол BAC
, если известно, что BC=12
, AD=3{,}5
и EC=\frac{9}{\sqrt{5}}
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Указание. Примените теорему о касательной и секущей.
Решение. Пусть M
— середина BC
. По теореме о касательной и секущей
BM^{2}=AB\cdot BD,~CM^{2}=AC\cdot CE,
или
36=AB\left(AB-\frac{7}{22}\right),~36=\frac{9AC}{\sqrt{5}}.
Из этих уравнений находим, что AB=8
, AC=4\sqrt{5}
.
Поскольку AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}
(64+80=144)
, то треугольник ABC
— прямоугольный, \angle BAC=90^{\circ}
.