685. Даны две окружности одинакового радиуса. Они пересекаются в точках A
и B
. Через точку A
проведена их общая секущая, пересекающая окружности ещё в точках C
и D
. Через точку B
проведена прямая, перпендикулярная этой секущей. Она пересекает окружности ещё в точках E
и F
. Докажите, что точки C
, E
, D
и F
— вершины ромба.
Указание. Докажите, что треугольники CBD
и FDE
— равнобедренные.
Решение. Углы DCB
и CDB
равны, так как они вписанные и опираются на равные дуги равных окружностей. Поэтому треугольник CDB
равнобедренный, а EF
— серединный перпендикуляр к отрезку CD
.
Предположим, что точка E
лежит между B
и F
. Поскольку
\angle FDC=\angle FCD=\angle FBA=\angle EBA=\angle ADE=\angle CDE,
треугольник EDF
— равнобедренный и DC
— серединный перпендикуляр к отрезку EF
. Следовательно, CEDF
— ромб.
Аналогично для остальных возможных случаев.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1972, № 4, вариант 2
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 29, с. 141