696. Две окружности с центрами O_{1}
, O_{2}
и радиусами 32, пересекаясь, делят отрезок O_{1}O_{2}
на три равные части. Найдите радиус окружности, которая касается изнутри обеих окружностей и касается отрезка O_{1}O_{2}
.
Ответ. 7.
Решение. Обозначим через r
радиус искомой окружности. Пусть O
— её центр, Q
и P
— точки касания соответственно с первой и второй окружностями, C
— точка касания с прямой O_{1}O_{2}
, A
и B
— точки пересечения соответственно первой и второй окружностей с отрезком O_{1}O_{2}
. Тогда
O_{1}A=AB=BO_{2}=16,~O_{1}C=24,
OC=r,~O_{1}O=O_{1}Q-OQ=32-r.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника O_{1}CO
находим, что
O_{1}O^{2}=O_{1}C^{2}+OC^{2},~\mbox{или}~(32-r)^{2}=24^{2}+r^{2}.
Из этого уравнения находим, что r=7
.
