704. Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, проходящая через центр большей окружности, пересекает её в точках A
и D
, а меньшую окружность — в точках B
и C
. Найдите отношение радиусов окружностей, если AB:BC:CD=3:7:2
.
Ответ. 3:2
.
Указание. Примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.
Решение. Пусть M
— точка касания, r
и R
(r\lt R
) — радиусы окружностей, Q
— центр большей из них. Обозначим AB=3x
, BC=7x
, CD=2x
. Тогда
R=\frac{AB+BC+CD}{2}=6x,~BQ=AQ-AB=R-3x=3x,
QC=R-2x=4x,~MQ=R=6x,~QP=2r-MQ=2r-6x
(где MP
— диаметр меньшей окружности).
По теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд
BQ\cdot QC=MQ\cdot QP,~\mbox{или}~3x\cdot4x=6x\cdot(2r-6x).
Из этого уравнения находим, что r=4x
. Следовательно,
\frac{R}{r}=\frac{6x}{4x}=\frac{3}{2}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1976, билет 3, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 76-3-3, с. 185
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 9.26, с. 69