705. Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, проходящая через центр меньшей окружности, пересекает большую окружность в точках A
и D
, а меньшую — в точках B
и C
. Найдите отношение радиусов окружностей, если AB:BC:CD=2:4:3
.
Ответ. 3.
Указание. Примените теорему о произведениях отрезков пересекающихся хорд.
Решение. Пусть M
— точка касания окружностей, r
и R
(r\lt R
) — их радиусы, O
— центр меньшей из них. Обозначим: AB=2x
, BC=4x
, CD=3x
. Тогда
r=OB=OC=2x,~DO\cdot OA=MO(2R-MO),~\mbox{или}~5x\cdot4x=2x(2R-2x).
Следовательно,
5x=R-x,~R=6x,~\frac{R}{r}=\frac{6x}{2x}=3.
