706. В прямоугольном треугольнике ABC
угол C
— прямой, AC:AB=4:5
. Окружность с центром на катете AC
касается гипотенузы AB
и пересекает катет BC
в точке P
, причём BP:PC=2:3
. Найдите отношение радиуса окружности к катету BC
.
Ответ. \frac{13}{20}
.
Указание. Примените теорему о касательной и секущей.
Решение. Положим AC=4x
, AB=5x
. Тогда
BC=3x,~\tg\angle A=\frac{3}{4},~BP=\frac{6x}{5},~PC=\frac{9x}{5}.
Пусть Q
— вторая точка пересечения прямой BC
с указанной окружностью, O
— центр этой окружности, M
— точка касания с гипотенузой. Тогда
BM=\sqrt{BP(BP+PC+CQ)}=\sqrt{\frac{144x^{2}}{25}}=\frac{12x}{5}.
Поэтому
AM=AB-BM=5x-\frac{12x}{5}=\frac{13x}{5},~OM=AM\tg\angle A=\frac{39x}{20}.
Следовательно, \frac{OM}{BC}=\frac{13}{20}
.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1976, билет 2, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 76-2-3, с. 184