711. Дан равнобедренный треугольник ABC
, в котором AB=BC
, \angle ABC=120^{\circ}
. Расстояние от середины стороны AB
до основания AC
равно a
. Найдите площадь круга, вписанного в треугольник ABC
.
Ответ. 12\pi a^{2}(7-4\sqrt{3})
.
Указание. Найдите стороны треугольника ABC
и расстояние от вершины B
до ближайшей точки касания с вписанной окружностью.
Решение. Пусть O
— центр окружности, вписанной в треугольник ABC
, M
— середина AB
, K
— проекция точки M
на основание AC
. Тогда
AM=2MK=2a,~AB=2AM=4a.
Если P
— точка касания вписанной окружности со стороной AB
, а Q
— со стороной AC
, то
AQ=AB\cos30^{\circ}=2a\sqrt{3},~AP=AQ=2a\sqrt{3},
BP=AB-AP=4a-2a\sqrt{3}=2a(2-\sqrt{3}),
OP=r=BP\tg60^{\circ}=2a\sqrt{3}(2-\sqrt{3}).
Тогда площадь вписанного круга равна
\pi r^{2}=12\pi a^{2}(2-\sqrt{3})^{2}=12\pi a^{2}(7-4\sqrt{3}).