713. Угол при основании равнобедренного треугольника равен \varphi
. Найдите отношение радиуса вписанной в данный треугольник окружности к радиусу описанной окружности.
Ответ. \tg\frac{\varphi}{2}\sin2\varphi=2(1-\cos\varphi)\cos\varphi
.
Указание. Выразите радиусы окружностей через основание треугольника.
Решение. Обозначим основание BC
равнобедренного треугольника ABC
через a
, радиусы вписанной и описанной окружностей — r
и R
соответственно, центр вписанной окружности — O
, середину BC
— M
. Тогда
R=\frac{BC}{2\sin\angle BAC}=\frac{a}{2\sin(180^{\circ}-2\varphi)}=\frac{a}{2\sin2\varphi},
r=OM=BM\tg\frac{1}{2}\angle B=\frac{a}{2}\tg\frac{\varphi}{2}.
Следовательно,
\frac{r}{R}=\tg\frac{\varphi}{2}\sin2\varphi=\frac{\sin\frac{\varphi}{2}}{\cos\frac{\varphi}{2}}\cdot2\sin\varphi\cos\varphi=
=\frac{\sin\frac{\varphi}{2}}{\cos\frac{\varphi}{2}}\cdot4\sin\frac{\varphi}{2}\cos\frac{\varphi}{2}\cos\varphi=4\sin^{2}\frac{\varphi}{2}\cos\varphi=2(1-\cos\varphi)\cos\varphi.
