714. В равнобедренном треугольнике основание равно 24, а боковая сторона равна 15. Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей.
Ответ. 4; 12,5.
Указание. Для нахождения радиуса вписанной окружности можно использовать свойство биссектрисы треугольника. Для радиуса описанной окружности — формулу a=2R\sin\alpha
.
Решение. Пусть AM
— высота равнобедренного треугольника ABC
, AB=AC=15
, BC=24
, O
— центр вписанной окружности, r
и R
— радиусы вписанной и описанной окружностей соответственно.
Поскольку треугольник — равнобедренный, то точка O
лежит на отрезке AM
, и BO
— биссектриса угла ABC
. Поэтому \frac{OM}{OA}=\frac{BM}{AB}
. Следовательно,
r=OM=\frac{AM\cdot MB}{MB+AB}=\frac{9\cdot12}{12+15}=4.
R=\frac{AC}{2\sin\angle ABC}=\frac{AC}{2\cdot\frac{AM}{AB}}=\frac{15}{2\cdot\frac{9}{15}}=\frac{25}{2}.