727. Окружность, диаметр которой равен \sqrt{10}
, проходит через соседние вершины A
и B
прямоугольника ABCD
. Длина касательной, проведённой из точки C
к окружности, равна 3, AB=1
. Найдите все возможные значения, которые может принимать длина стороны BC
.
Ответ. \frac{3}{2}(\sqrt{5}\pm1)
.
Указание. Рассмотрите два возможных случая, и в каждом из них примените теорему о касательной и секущей.
Решение. Заметим, что вершина C
расположена вне окружности. Пусть CK
— указанная касательная (K
— точка касания). Если окружность не имеет общих точек с данным прямоугольником, кроме точек A
и B
, то, продолжив отрезок CB
до пересечения с окружностью в точке P
, получим прямоугольный треугольник ABP
, гипотенуза AP
которого — диаметр окружности. Поэтому
BP=\sqrt{AP^{2}-AB^{2}}=\sqrt{10-1}=3.
По теореме о касательной и секущей
BC(BC+BP)=CK^{2},~\mbox{или}~BC(BC+3)=9.
Отсюда находим, что
BC=\frac{3}{2}(\sqrt{5}-1).
Если же окружность пересекает прямоугольник ещё в точках, отличных от A
и B
, то соответствующее уравнение имеет вид
BC(BC-3)=9.
Его корень —
BC=\frac{3}{2}(\sqrt{5}+1).
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1991, № 3, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 1992, № 2, с. 60
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 12.15, с. 94