729. В трапеции ABCD
боковая сторона AB
перпендикулярна основанию BC
. Окружность проходит через точки C
и D
и касается прямой AB
в точке E
. Найдите расстояние от точки E
до прямой CD
, если AD=4
, BC=3
.
Ответ. 2\sqrt{3}
.
Указание. Примените теорему о касательной и секущей.
Решение. Пусть T
— точка пересечения прямых AB
и CD
, P
— проекция точки E
на прямую CD
, Q
— проекция точки C
на прямую AD
. Обозначим \angle CDA=\alpha
, CD=x
.
Поскольку QD=AD-AQ=AD-BC=1
, то
\cos\alpha=\frac{QD}{DC}=\frac{1}{x}.
Из подобия треугольников TBC
и TAD
находим, что TC=3x
. Поэтому
TE^{2}=TD\cdot TC=12x^{2}.
Следовательно,
TE=2x\sqrt{3},~EP=TE\cos\angle TEP=TE\cos\angle TDA=
=TE\cos\alpha=2x\sqrt{3}\cdot\frac{1}{x}=2\sqrt{3}.
Заметим, что есть две окружности, удовлетворяющие условию задачи, но указанное решение годится для обоих случаев и приводит к одному результату.
Источник: Вступительный экзамен на филологический факультет МГУ. — 1991, № 5, вариант 1
Источник: Журнал «Квант». — 1992, № 2, с. 61