740. В треугольник ABC
вписана окружность с центром O
. Прямая BO
пересекает эту окружность в точках M
и N
, а отрезки AO
и CO
пересекают окружность соответственно в точках P
и Q
. Найдите отношение площадей треугольников MNP
и MQN
, если \angle A=\alpha
, \angle C=\gamma
.
Ответ. \frac{\cos\frac{\gamma}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}
.
Указание. Выразите через радиус окружности расстояние от точек Q
и P
до прямой BO
.
Решение. Пусть R
— радиус окружности, BD
— биссектриса треугольника ABC
, K
и F
— проекции точек P
и Q
на прямую BO
. Тогда
\angle POK=\angle BAO+\angle ABD=\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi-\alpha-\gamma}{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2}.
Поэтому
PK=PO\sin\angle POK=PO\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\gamma}{2}\right)=R\cos\frac{\gamma}{2}.
Аналогично QF=R\cos\frac{\alpha}{2}
. Следовательно,
\frac{S_{\triangle MNP}}{S_{\triangle MNQ}}=\frac{PK}{QF}=\frac{\cos\frac{\gamma}{2}}{\cos\frac{\alpha}{2}}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1979, билет 3, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 79-3-4, с. 213