744. Окружность, проведённая через вершины A
, B
и D
прямоугольной трапеции ABCD
(\angle A=\angle B=90^{\circ}
) пересекает продолжение основания BC
и продолжение боковой стороны CD
в точках M
и N
соответственно, причём CM:CB=CN:CD=1:2
. Найдите отношение диагоналей BD
и AC
трапеции.
Ответ. 2\sqrt{\frac{3}{7}}
.
Указание. Докажите, что BM=DN
.
Решение. Обозначим CM=a
, CN=b
. Тогда BC=2a
, CD=2b
, а так как CM\cdot BC=CN\cdot CD
, то 2a^{2}=2b^{2}
. Поэтому CD=BC=2a
.
Поскольку \angle BAD=90^{\circ}
, то BD
— диаметр данной окружности. Поэтому \angle BMD=90^{\circ}
. Поскольку, \frac{CM}{CD}=\frac{1}{2}
, то
\angle CDM=30^{\circ},~AB=DM=a\sqrt{3},~AC=\sqrt{3a^{2}+4a^{2}}=a\sqrt{7},
BD=\sqrt{MD^{2}+MB^{2}}=\sqrt{3a^{2}+9a^{2}}=2a\sqrt{3}.
Следовательно, \frac{BD}{AC}=2\sqrt{\frac{3}{7}}
.
