755. Две окружности радиусов \sqrt{5}
и \sqrt{2}
пересекаются в точке A
. Расстояние между центрами окружностей равно 3. Через точку A
проведена прямая, пересекающая окружности в точках B
и C
так, что AB=AC
(точка B
не совпадает с C
). Найдите AB
.
Ответ. \frac{6}{\sqrt{5}}
.
Указание. Опустите перпендикуляры из центров окружностей на прямую BC
.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры меньшей и большей окружностей соответственно. Обозначим AB=AC=2x
и опустим перпендикуляры O_{1}M
и O_{2}N
на прямую BC
. Тогда M
и N
— середины хорд AB
и AC
.
Если P
— проекция точки O_{1}
на прямую O_{2}N
, то
O_{1}P=MN=MA+AN=2x,~O_{1}M^{2}=O_{1}A^{2}-MA^{2}=2-x^{2},
O_{2}N^{2}=O_{2}A^{2}-NA^{2}=5-x^{2}.
В прямоугольном треугольнике O_{1}PO_{2}
известно, что
O_{1}O^{2}_{2}=(O_{2}N-O_{1}M)^{2}+O_{1}P^{2},
или
9=(\sqrt{5-x^{2}}-\sqrt{2-x^{2}})^{2}+4x^{2}.
Из этого уравнения находим, что x=\frac{3}{\sqrt{5}}
. Следовательно, AB=2x=\frac{6}{\sqrt{5}}
.
