760. В треугольнике ABC
угол ABC
равен \alpha
, угол BCA
равен 2\alpha
. Окружность, проходящая через точки A
, C
и центр описанной около треугольника ABC
окружности, пересекает сторону AB
в точке M
. Найдите отношение AM
к AB
.
Ответ. \frac{1}{4\cos^{2}\alpha}
.
Указание. Докажите, что CM
— биссектриса треугольника ABC
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
. Тогда по теореме об измерении вписанного угла и по теореме о внешнем угле треугольника
\angle AOC=2\angle ABC=2\alpha,~\angle AMC=\angle AOC=2\alpha,
\angle MCB=\angle AMC-\angle MBC=2\alpha-\alpha=\alpha,
а так как \angle ACB=2\alpha
, то CM
— биссектриса треугольника ACB
. Следовательно,
\frac{AM}{MB}=\frac{AC}{BC}=\frac{\sin\alpha}{\sin(180^{\circ}-3\alpha)}=\frac{\sin\alpha}{\sin3\alpha}.
Поэтому
\frac{AM}{AB}=\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha+\sin3\alpha}=\frac{\sin\alpha}{2\sin2\alpha\cos\alpha}=\frac{\sin\alpha}{4\sin\alpha\cos^{2}\alpha}=\frac{1}{4\cos^{2}\alpha}.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1975, билет 10, № 4
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 75-10-4, с. 182
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — № 13.30, с. 105