772. Около треугольника ABC
описана окружность. Диаметр AD
пересекает сторону BC
в точке E
, при этом AE=AC
и BE:CE=m
. Найдите отношение DE
к AE
.
Ответ. 2m-1
.
Указание. Выразите косинус угла BCA
из равнобедренного треугольника EAC
и прямоугольного треугольника ABD
.
Решение. Обозначим
EC=a,~AE=x,~DE=y,~\angle ACE=\alpha.
Поскольку AE=AC
, то
\angle AEC=\angle ACE=\alpha.
Тогда
\angle BED=\alpha,~\angle BDA=\angle BCA=\alpha
(вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AB
). Следовательно, треугольник BED
— равнобедренный и BD=BE=ma
. Поскольку AD
— диаметр, то \angle ABD=90^{\circ}
.
Из треугольников AEC
и ABD
находим, что
\cos\alpha=\frac{a}{2x},~\cos\angle BDA=\cos\alpha=\frac{BD}{AD}=\frac{ma}{x+y}.
Поэтому
\frac{a}{2x}=\frac{ma}{x+y},~\frac{y}{x}=2m-1.
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1972, билет 9, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 72-9-3, с. 155