777. Около прямоугольного треугольника ABC
описана окружность. Расстояния от концов A
и B
гипотенузы AB
до прямой, касающейся окружности в точке C
, равны m
и n
соответственно. Найдите катеты AC
и BC
.
Ответ. \sqrt{m(m+n)}
, \sqrt{n(m+n)}
.
Указание. Пусть CM
— высота треугольника ABC
. Докажите, что AM=m
.
Решение. Пусть P
и Q
— проекции точек A
и B
на указанную касательную, CM
— высота треугольника ABC
. Треугольник AMC
равен треугольнику APC
, так как
\angle PCA=\angle ABC=90^{\circ}-\angle CAB=\angle ACM
(по теореме об угле между касательной и хордой). Следовательно, AM=AP=m
. Аналогично BM=BQ=n
. Поэтому
AC^{2}=AM\cdot AB=m(m+n),~BC^{2}=BM\cdot AB=n(m+n).
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1971, билет 4, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 71-4-3, с. 147
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2010. Математика. Задача C4. Геометрия. Планиметрия. — М.: МЦНМО, 2010. — Диагностическая работа 3, задача 4
Источник: Гордин Р. К. ЕГЭ 2017. Математика. Геометрия. Стереометрия. Задача 14 (профильный уровень). — М.: МЦНМО, 2017. — № 4, с. 166