778. В трапеции ABCD
основание AB=a
, основание CD=b
(a\lt b
). Окружность, проходящая через вершины A
, B
и C
, касается стороны AD
. Найдите диагональ AC
.
Ответ. \sqrt{ab}
.
Указание. Треугольники ADC
и BCA
подобны.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle DAC=\angle ABC
.
Поскольку прямые AB
и CD
параллельны, \angle DCA=\angle BAC
. Следовательно, треугольники ADC
и BCA
подобны, поэтому \frac{AB}{AC}=\frac{AC}{CD}
. Отсюда находим, что
AC^{2}=AB\cdot CD=ab.
