779. В равнобедренной трапеции с острым углом \alpha
при основании окружность, построенная на боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны. В каком отношении она делит большее основание трапеции?
Ответ. \sin2\alpha
.
Указание. Выразите указанные отрезки большего основания через боковую сторону трапеции, т. е. через диаметр окружности.
Решение. Пусть O
— центр окружности (середина боковой стороны AB
трапеции ABCD
), OP
— средняя линия трапеции, K
— точка пересечения указанной окружности с большим основанием AD
. Тогда BK
— перпендикуляр к AD
и KD=\frac{1}{2}(AD+BC)=OP
. Если M
— точка касания окружности с боковой стороной CD
, то
OM=\frac{1}{2}AB,~\angle MPO=\angle KAB=\alpha,~KD=OP=\frac{OM}{\sin\alpha}=\frac{AB}{2\sin\alpha},~AK=AB\cos\alpha.
Следовательно,
\frac{AK}{KD}=\frac{AB\cos\alpha}{\frac{AB}{2\sin\alpha}}=2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha.
