781. Дан прямоугольный треугольник ABC
с катетами AC=3
и BC=4
. Через точку C
проведена прямая, лежащая вне треугольника и образующая с катетами углы, равные 45^{\circ}
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A
, B
и касающейся этой прямой.
Ответ. \frac{35(5\sqrt{2}\pm4\sqrt{3})}{2}
.
Указание. Примените теорему синусов и теорему о касательной и секущей.
Решение. Пусть M
— точка пересечения прямой AB
с указанной касательной, P
— точка касания, \varphi
— один из углов, образованных при пересечении прямых CM
и AB
, \angle BAC=\alpha
. Тогда
AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}=25,~AB=5,~\cos\alpha=\frac{3}{5},
\sin\alpha=\frac{4}{5},~\sin\varphi=\sin(\alpha-45^{\circ})=\frac{\sqrt{2}}{10}.
Если \varphi
— острый угол, то \cos\varphi=\frac{7\sqrt{2}}{10}
и \tg\varphi=\frac{1}{7}
.
Пусть O
— центр окружности, R
— её радиус, E
— середина AB
, F
— точка пересечения OP
и AB
. Тогда по теореме синусов из треугольника AMC
находим, что AM=15
.
По теореме о касательной и секущей
MP^{2}=MB\cdot MA=300,~MP=10\sqrt{3}.
Из прямоугольного треугольника FPM
находим, что
PF=PM\cdot\tg\varphi=\frac{10\sqrt{3}}{7}.
Тогда
OF=|OP-PF|=\left|R-\frac{10\sqrt{3}}{7}\right|.
Поскольку \angle EOF=\angle BMP=\varphi
, то
OE=OF\cos\varphi=\frac{7\sqrt{2}}{10}\left|R-\frac{10\sqrt{3}}{7}\right|=\left|\frac{7R\sqrt{2}}{10}-\sqrt{6}\right|.
По теореме Пифагора из треугольника OBE
находим, что
OB^{2}=OE^{2}+BE^{2},~\mbox{или}~\left(\frac{7R\sqrt{2}}{10}-\sqrt{6}\right)^{2}+\frac{25}{4}=R^{2}.
После упрощения получим квадратное уравнение
R^{2}+140R\sqrt{3}-\frac{25\cdot49}{2}=0,
из которого находим, что R=\frac{35(5\sqrt{2}-4\sqrt{3})}{2}
.
Если \varphi\gt90^{\circ}
, получим второе решение.