784. Докажите, что в любом неравнобедренном треугольнике биссектриса лежит между медианой и высотой, проведёнными из той же вершины.
Указание. Опишите окружность около данного треугольника и продолжите биссектрису до пересечения с этой окружностью.
Решение. Пусть в треугольнике ABC
точки H
, D
и M
— основания соответственно высоты, биссектрисы и медианы, проведённых из вершины B
.
Опишем около треугольника ABC
окружность. Пусть P
— точка пересечения прямой BD
с этой окружностью. Тогда P
— середина дуги AC
. Значит, прямая, проведённая через точку P
параллельно BH
, перпендикулярна хорде AC
(так как BH\perp AC
) и, поэтому проходит через её середину M
.
Поскольку точки B
и P
лежат по разные стороны от прямой AC
, то точка D
лежит между проекциями концов отрезка BP
, т. е. между точками H
и M
.
Источник: Московская математическая олимпиада. — 1939, V, 1-й тур
Источник: Гальперин Г. А., Толпыго А. К. Московские математические олимпиады. — М.: Просвещение, 1988. — № 5, с. 23
Источник: Задачи по математике и физике, дававшиеся на приёмных испытаниях в 1947—1953 гг. — М.: МФТИ, 1956. — № 3, с. 7
Источник: Вступительный экзамен в МФТИ. — 1953, билет 1, № 3
Источник: Сборник методических материалов письменных испытаний по математике и физике абитуриентов Московского Физтеха (1947—2006 гг.). Математика / Сост. Д. А. Александров, И. Г. Почернин, И. Г. Проценко, И. Е. Сидорова, В. Б. Трушин, И. Г. Шомполов. Под ред. И. Г. Шомполова. — М.: МФТИ, 2007. — № 53-1-3, с. 43
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 72, с. 187
Источник: Шклярский Д. О., Ченцов Н. Н., Яглом И. М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. — Ч. 2: Геометрия (планиметрия). — М.: ГТТИ, 1952. — № 94, с. 31
Источник: Куланин Е. Д., Федин С. Н. Геометрия треугольника в задачах: Экспериментальное учебное пособие для 8—10 кл. школ физико-математического направления. — М.: НИИ школ, 1990. — № 33, с. 100
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — Ч. 1. — М.: Наука, 1991. — № 2.67, с. 38
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 2.70, с. 38