803. Пусть A
— основание перпендикуляра, опущенного из центра O
данной окружности на данную прямую l
. На этой прямой взяты ещё две точки B
и C
так, что AB=AC
. Через точки B
и C
проведены две произвольные секущие, из которых одна пересекает окружность в точках P
и Q
, вторая — в точках M
и N
. Пусть прямые PM
и QN
пересекают прямую l
в точках R
и S
. Докажите, что AR=AS
.
Указание. Отобразите точки P
, M
, Q
и R
относительно прямой OA
.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Пусть точки P'
, M'
, Q'
и R'
симметричны точкам соответственно P
, M
, Q
и R
относительно прямой OA
. Поскольку точки A
и C
также симметричны относительно этой прямой, прямая P'Q'
проходит через точку C
. Тогда
\angle CSN=\angle Q'QN=\angle NP'Q'=\angle CP'N.
Из точек S
и P'
, лежащих по одну сторону от прямой CN
, отрезок CN
виден под одним и тем же углом, значит, точки C
, N
, P'
и S
лежат на одной окружности.
Кроме того, прямая P'M'
проходит через точку R'
, поэтому
\angle CR'P'=\angle MM'P=\angle MNP'=180^{\circ}-\angle CNP'.
Точки N
и R'
лежат по разные стороны от прямой CP'
, при этом сумма углов CR'P'
и CNP'
равна 180^{\circ}
. Значит, точки C
, N
, P'
и R'
также лежат на одной окружности, а так как через точки C
, N
, P'
проходит единственная окружность, то на этой окружности лежит и точка S
, и точка R'
. В то же время, точки R'
, S
и C
лежат на одной прямой, значит, точка R'
совпадает с R
. Следовательно, AR=AS
.
Аналогично для любого возможного расположения данных точек.
Примечание. Разбора случаев можно избежать, если рассматривать ориентированные углы:
\angle(CS,~NS)=\angle(Q'Q,~NS)=\angle(Q'P',~NP')=\angle(CP',~NP'),
\angle(CR',~P'R')=\angle(MM',~P'M')=\angle(MN,~P'N)=\angle(CN,~P'N).