805. Докажите, что: а) равные вписанные углы опираются на равные хорды; б) если хорды равны, то опирающиеся на них вписанные углы либо равны, либо в сумме составляют 180^{\circ}
.
Решение. а) Пусть вписанные углы AMB
и CND
равны. Каждый из них равен половине дуги, на которую он опирается, значит, дуга AB
, не содержащая точки M
, равна дуге CD
, не содержащей точки N
.
Пусть O
— центр окружности, тогда центральные углы AOB
и COD
равны, значит, равнобедренные треугольники AOB
и COD
равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AB=CD
. Что и требовалось доказать.
б) Пусть хорды AB
и CD
окружности с центром O
равны. Рассмотрим меньшие дуги AB
и CD
. Равнобедренные треугольники AOB
и COD
равны по трём сторонам, значит, равны центральные углы AOB
и COD
. Следовательно, равны и опирающиеся на них вписанные углы AMB
и CND
. Аналогично для случая, когда AB
и CD
— большие дуги окружности.
Если же AB
— меньшая дуга окружности, а CD
— большая дуга той же окружности, то по доказанному вписанный угол, опирающиеся на дугу AB
, равен вписанному углу, опирающемуся на дугу, дополняющую дугу CD
до 360^{\circ}
. Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на дуги AB
и CD
, в сумме составляют 180^{\circ}
.